Dimension Vektorraums über |Q < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Okus |
| Aufgabe | | Es sei V der Vektorraum [mm] \IR [/mm] über dem Körper [mm] \IQ. [/mm] Was ist die Dimension? |
Ich habe schon lange überlegt, finde aber keine Lösung... genaugenommen verstehe ich die Frage nicht.
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Moin Okus,
> Es sei V der Vektorraum [mm]\IR[/mm] über dem Körper [mm]\IQ.[/mm] Was ist die Dimension?
> Ich habe schon lange überlegt, finde aber keine Lösung... genaugenommen verstehe ich die Frage nicht.
Es gibt im Wesentlichen zwei Antwortmöglichkeiten auf die Frage nach der Dimension: endlich oder unendlich.
Überlege dir, ob es eine endliche Basis von Elementen aus [mm] \IQ [/mm] geben kann, die [mm] \IR [/mm] komplett aufspannt, d. h. jede reelle Zahl ist Linearkombination der Basiselemente.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Do 16.06.2011 | | Autor: | Okus |
Natürlich nicht, da sich irrationale Zahlen nicht durch Kombination von rationalen Zahlen schreiben lassen. Also existiert keine endliche Basis aus Elementen von Q und auch keine unendliche Basis (auch da würde das Problem bestehen bleiben). Was ergibt sich nun für die Dimension? Es Exisiert keine Basis, die R aufspannt, also gilt Dimension =0?
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> Natürlich nicht, da sich irrationale Zahlen nicht durch
> Kombination von rationalen Zahlen schreiben lassen.
Nicht als Kombination endlich vieler rationaler Zahlen.
> Also existiert keine endliche Basis aus Elementen von Q und auch
> keine unendliche Basis (auch da würde das Problem bestehen bleiben).
Doch es gibt schon unendliche Basen, die lassen sich nur nicht so leicht konstruieren, wenn überhaupt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 16.06.2011 | | Autor: | Okus |
Wie lassen sich diese Basen konstruieren?
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> Wie lassen sich diese Basen konstruieren?
Ich vermute gar nicht.
Aber das ist nicht notwendig, um die Unendlichkeit einer Basis zu zeigen. Man kann auch eine unendliche linear unabhängige Menge in [mm] \IR [/mm] konstruieren.
Nehmen wir uns dazu die transzendente Zahl e. Wir betrachten die Menge [mm] M:=\{e^n, n\in\IN\}.
[/mm]
Offenbar sind keine der Zahlen [mm] e^i, i\in\IN [/mm] rational (Beweis analog dem unten zur linearen Unabhängigkeit).
Wählt man endlich viele Zahlen [mm] e^{i_1}, \ldots, e^{i_n} [/mm] aus M aus, so sind sie alle linear unabhängig, denn aus [mm] (\lambda_i\in\IQ, [/mm] wenigstens ein [mm] \lambda_j\neq0):
[/mm]
[mm] \lambda_1*e^{i_1}+\ldots+\lambda_n e^{i_n}=0
[/mm]
folgt, dass e Nullstelle eines rationalen Polynoms wäre. Da e aber transzendent ist, ist das ein Widerspruch. Also sind alle [mm] \lambda_i=0.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Do 16.06.2011 | | Autor: | Okus |
Ok das verstehe ich. Aber wir müssten jetzt doch noch zeigen, dass es eine unendliche Basis aus Elementen von Q gibt, deren Erzeugnis gleich R ist, oder habe ich etwas falsch verstanden?
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> Ok das verstehe ich. Aber wir müssten jetzt doch noch
> zeigen, dass es eine unendliche Basis aus Elementen von Q
> gibt, deren Erzeugnis gleich R ist, oder habe ich etwas
> falsch verstanden?
Hallo,
ja, ich glaube, daß Dir etwas sehr Wesentliches von Anfang an nicht klar war: es ist hier doch überhaupt keine Basis gesucht, welche nur Elemente aus [mm] \IQ [/mm] enthält!
(Daß dies zum Scheitern verurteilt ist, ist schnell klar, denn endliche Summen rationaler Zahlen sind rationale Zahlen - und in der linearen Algebra haben wir es mit endlichen Summen zu tun.)
Vielleicht machst Du Dir zum besseren Verständnis erst nochmal klar, wie der VR [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] gemacht ist:
die Vektoren sind Elemente aus [mm] \IR, [/mm] und der Skalarenkörper ist [mm] \IQ.
[/mm]
Gefragt ist hier nun: gibt es eine endliche Basis, dh.
finde ich endlich viele reelle Zahlen [mm] (r_1,...,r_n), [/mm] so daß man jede reelle Zahl r als [mm] \IQ-Linearkombination [/mm] dieser n reellen Zahlen schreiben kann, also als [mm] r=q_1r_1+...+q_nr_n [/mm] mit [mm] q_i\in \IQ?
[/mm]
Nun zur Argumentation:
die Indizien dafür, daß Felix ein Ungläubiger ist, häufen sich...
Du und ich, wir sind nicht so.
Wir sind Gläubige.
Für uns hat jeder VR eine Basis. (Schlag das in Deinen Unterlagen nach!)
Es hat also der [mm] \IQ-VR\quad \IR [/mm] eine Basis, die Frage ist nun, ob sie endlich oder unendlich ist.
kamaleonti hat Dir eine unendliche, linear unabhängige Teilmenge von [mm] \IR [/mm] genannt. Nach dem Basisergänzungssatz kann man sie zu einer Basis des [mm] \IR [/mm] ergänzen.
Es gibt also eine Basis des [mm] \IR, [/mm] welche kamaleontis unendliche Menge als Teilmenge enthält. Also ist auch unsere (und damit jede) Basis des [mm] \IR [/mm] (über [mm] \IQ) [/mm] unendlich.
Also ist [mm] \IR [/mm] als VR über [mm] \IQ [/mm] unendlichdimensional.
Damit ist die eingangs gestellte Frage in vollem Umfang beantwortet.
Du wirst dort nicht aufgefordert, explizit eine Basis anzugeben - brauchst es also nicht zu tun. Es geht auch nicht. (Das kann ich allerdings nicht beweisen.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Do 16.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir machen einen Widerspruchsbeweis:
Annahme: [mm] $\{b_1,...,b_n\}$ [/mm] sei eine Basis von [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] Ist dann x [mm] \in \IR, [/mm] so gibt es [mm] $q_1,...,q_n \in \IQ$ [/mm] mit:
$x= [mm] \summe_{i=1}^{n}q_ib_i$.
[/mm]
Dammit ist
(*) [mm] $\IR= \{\summe_{i=1}^{n}q_ib_i: q_1,...,q_n \in \IQ\}$.
[/mm]
Nun schau Dir mal die Menge auf der rechten Seite von (*) an. "Wieviele" Elemente hat sie ?
Bingo ! [mm] $\{\summe_{i=1}^{n}q_ib_i: q_1,...,q_n \in \IQ\}$ [/mm] ist abzählbar, denn [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar. Damit wäre [mm] \IR [/mm] abzählbar, was aber bekanntlich Quatsch ist.
Fazit: ob man nun Gläubiger ist oder nicht, der VR [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] hat jedenfalls keine endliche Basis.
FRED
(der manchmal glaubt und machmal auch nicht und machmal auch falsches glaubt. Nichts ist so erfrischend, wie Dinge zu wissen, die gar nicht stimmen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 16.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wie lassen sich diese Basen konstruieren?
> Ich vermute gar nicht.
Haengt davon ab, was man unter "konstruieren" versteht 
Wenn man an das Auswahlaxiom bzw. das dazu aequivalente Lemma von Zorn glaubt, kann man mit letzterem zeigen, dass es solche Basen gibt. Ob man zu diesem Prozess "eine Basis konstruieren" sagen moechte, bleibt jedem selber ueberlassen...
LG Felix
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